Metodi semplificati per l’analisi degli effetti locali

Tutti i metodi semplificati sono basati sull’analogia con una colonna “modello” avente le seguenti caratteristiche:
– sezione trasversale costante;
– vincoli di cerniera ad entrambe le estremità;
– sforzo assiale e momento flettente costanti;
– assenza di carichi trasversali lungo la luce.

Ogni elemento strutturale dovrà quindi preventivamente essere riferito alla colonna modello corrispondente, calcolando la relativa luce libera ed il momento equivalente.
Il momento equivalente, \(M_{0}\), è calcolato con riferimento ai momenti di estremià, \(M_{1}\) and \(M_{2}\). Sia le normative europee (EC2) che la normativa americana (ACI318-14) utilizzano la stessa espressione per \(M_{0}\), precisamente:

\(M_{0}=0.6\cdot M_{2}+0.4\cdot M_{1} \geq 0.4\cdot M_{2}\)

dove\(|M_{2}| \geq |M_{1}|\). I segni di \(M_{1}\) e \(M_{2}\) sono concordi se la colonna è inflessa con curvatura singola, viceversa sono discordi.

La luce libera è definita dalla distanza fra due flessi consecutivi nella deformata critica dell’elemento. A tal proposito, sia le norme europee (EC2 § 5.8.3.2) che quelle americane (ACI 318-14 R6.2.5) suggeriscono delle procedure approssimate per la stima delle luci libere in funzione della rigidezza rotazionale relativa dei vincoli di estremità dell’asta.

Una volta determinata la colonna equivalente, gli effetti locali del secondo ordine possono essere stimati in funzione della massima inflessione attesa, calcolata in accordo al metodo della “rigidezza nominale” (EC2 and ACI 318) o al metodo della “curvatura nominale” (EC2).

Figura 3: definizione della colonna “modello”
a) determinazione del momento equivalente – b) calcolo della luce libera

Le norme americane stabiliscono espressamente che gli effetti P-Δ globali dovranno essere inclusi nella determinazione del momento equivalente, pertanto le luci libere saranno sempre calcolate nell’ipotesi di struttura a nodi fissi. L’Eurocodice viceversa, consente di utilizzare i valori di \(M_{1}\) e \(M_{2}\) derivanti da una semplice analisi elastica del primo ordine e perciò, in tali casi, le luci libere dovranno essere valutate nell’ipotesi di struttura a nodi spostabili. Tale approccio non è tuttavia consigliato, poiché i metodi semplificati per la valutazione degli effetti locali non sono stati concepiti per rappresentare anche gli effetti globali. Per tale ragione, in tutti i casi in cui gli effetti P-Δ possono essere rilevanti, è sempre consigliabile l’utilizzo di analisi del secondo ordine le cui sollecitazioni risultanti saranno utilizzate per il calcolo di \(M_{0}\).

Metodo della “rigidezza nominale”

L’equilibrio della colonna modello nella sua configurazione deformata è espresso dalla seguente equazione differenziale di secondo grado:

\( v’ ’ EJ+Nv=-Ne_{0} \)

dove\( v \) è l’inflessione laterale della colonna e \( e_{0}=M_{0}/N \). Risolvendo tale equazione è possibile stimare il massimo momento agente in mezzeria della colonna come funzione del carico critico Euleriano:

\( M_{max} = \cfrac{M_0}{\left ( 1 – \cfrac{N_{Ed}}{N_{cr}} \right )} \)

Nell’espressione precedente, l’unica incognita è rappresentata dal carico critico \( N_{cr} \):

\( N_{cr} = \cfrac{\pi^2 \left ( EJ \right )_{eff}}{L^2_0} \)

Il valore di tale termine è proporzionale alla rigidezza effettiva o “rigidezza nominale” della colonna \( \left ( EI \right )_{eff} \) , che è a sua volta funzione della snellezza e del grado di fessurazione della stessa e degli effetti viscosi.

L’Eurocodice 2 fornisce la seguente espressione per la rigidezza nominale (EC2 § 5.8.7.2):

\( EI=K_{c} E_{cd} I_{c} + E_{s} I_{s} \)

nella quale il termine \( K_{c} \) riduce la rigidezza per tener conto di fessurazione, snellezza e viscosità:

\( K_{c} = \cfrac{k_{1} k_{2}}{1+\varphi_{ef}}  \)

\( k_1 = \sqrt { \left ( f_{ck}/20 \right )} \) with \( f_{ck} \) in MPa

\( k_2 = n \cdot \lambda / 170 \leq 0.2 \rightarrow \) fattore di snellezza

\( n = N_{Ed} / \left ( A_c f_{cd} \right ) \rightarrow \) forza assiale adimensionale

\( \lambda \rightarrow \) snellezza della colonna nella direzione in esame

\( \varphi_{ef} = \varphi \left ( \infty, t_0 \right ) \cdot M_{0Eqp} / M_{0Ed} \rightarrow \) coefficiente efficace di viscosità

\( M_{0Eqp} \rightarrow \) momento flettente del primo ordine corrispondente alla combinazione quasi permanente

\( M_{0Ed} \rightarrow \) momento flettente del primo ordine corrispondente alla combinazione di progetto allo SLU

\( \varphi \left ( \infty, t_0 \right ) \rightarrow \) coefficiente finale di viscosità come definito in Figura 4

Il momento finale di progetto è quindi definito come:

\( M_{Ed} = M_{0Ed} \left [ 1+\dfrac {\beta}{\dfrac{N_B}{N_{Ed}} -1} \right] \)

dove \( M_{0Ed} \) rappresenta il momento equivalente, \( N_B \) è il carico critico calcolato con riferimento alla rigidezza nominale e \( \beta \) è un fattore di correzione che dipende dalla distribuzione di momenti lungo la colonna e può generalmente essere assunto pari a \( \pi ^2 / 8 \).

Figura 4: determinazione del coefficiente finale di viscosità (EC2 fig. 3.1)

La norma americana propone tre diverse formulazioni per la rigidezza nominale (ACI 318-14 § 6.6.4.4.4):

\( \begin{array}{l}\left( EI \right )_{eff} = \dfrac{0.4 \cdot E_c I_g }{1 + \beta_{dns}} \\ \\ \left( EI \right )_{eff} = \dfrac{0.2 \cdot E_c I_g + E_s I_{se}}{1 + \beta_{dns}} \\ \\ \left( EI \right )_{eff} = \dfrac{E_c I}{1 + \beta_{dns}} \end{array}\)

dove:

\( I_g \) momento di inerzia della sezione di solo cls rispetto all’asse principale di inerzia di riferimento

\( I_{se} \) momento di inerzia delle armature rispetto all’asse principale di inerzia della sezione di cls

\( I \) momento di inerzia calcolato in accordo alla tabella 6.6.3.1.1.(b) della norma

\( \beta_{dns} \) rapporto fra il carico permanente e il carico totale per la combinazione di carico considerata

Il massimo momento di progetto è quindi calcolato come:

\( M_c= \delta \cdot M_2 \)

con

\( \delta = \dfrac{C_m}{1 – \dfrac{P_u}{0.75 \cdot P_c}} \geq 1 \)

Nell’espressione precedente \( P_c \) identifica il carico critico, calcolato con riferimento alla rigidezza effettiva, e \( C_m = 0.6 – 0.4 \cdot M_1 / M_2 \) rappresenta il coefficiente di momento equivalente.

Le formulazioni proposte da entrambe le normative sono molto simili, ma l’Eurocodice adotta un modello più raffinato per la valutazione degli effetti viscosi, considerando l’influenza delle condizioni ambientali, dei perimetri bagnati degli elementi, della classe di resistenza e della maturazione del calcestruzzo al momento della messa in carico; la normativa americana vicevera adotta un approccio semplificato basato unicamente sul rapporto fra carichi permanenti e carichi totali.

La curva che rappresenta l’andamento del momento di progetto in funzione dello sforzo assiale agente tende asintoticamente all’infinito quando \( N \rightarrow N_{cr} \) (vedere Figura 5).

Figura 5: massimo momento totale nella colonna modello in accordo con il metodo della rigidezza nominale

Metodo della “curvatura nominale”

Il metodo della “curvatura nominale” si basa su un approccio completamente diverso: con riferimento alla Figura 6, la curva M-N tracciata in rosso definisce il dominio resistente della sezione in assenza di effetti del secondo ordine; all’atto pratico tuttavia, la colonna modello non potrà mai sviluppare il massimo valore del momento resistente nelle sue sezioni di estremità in quanto, al crescere della sollecitazione, la flessione indotta farà nascere nella sezione di mezzeria un momento aggiuntivo che ne provocherà il collasso anticipato. In definitiva quindi, fissato il valore di \( N_{Ed} \) e indicato con \( e_2 \) il valore della freccia a collasso, il massimo valore del momento assorbibile dalla colonna sarà pari a: 

\( M’_{Rd} = M_{Rd} – N_{Ed} \cdot e_2 \)

La verifica di resistenza potrà quindi essere condotta controllando che:

\( M_{Sd} + N_{Ed} \cdot e_2 \leq M_{Rd} \)

dove il termine \( N_{Ed} \cdot e_2 \) definisce il contributo del secondo ordine che si sviluppa nella colonna al raggiungimento della configurazione di collasso.

Figura 6: riduzione del momento resistente nella colonna per effetti del secondo ordine

Nella precedente relazione l’unica incognita è rappresentata dal valore dell’inflessione a collasso \( e_2 \). Per il calcolo di tale quantità si ipotizza che la configurazione deformata della colonna sia espressa da una relazione sinusoidale del tipo:

\( e(x) = e_2 \cdot \sin \left ( \dfrac{\pi}{L} x \right ) \)

Indicando con \( 1/r \) la curvatura della sezione di mezzeria al collasso si ha che:

\( \dfrac{1}{r} = e’ ’ \left ( \dfrac{L}{2} \right ) = e_2 \cdot \dfrac{\pi^2}{L^2} \rightarrow e_2 = \dfrac{1}{r} \cdot \dfrac{L^2}{\pi^2} \)

L’EC2 (EC2 § 5.8.8.3) propone la seguente espressione per il calcolo della curvatura:

\( \dfrac{1}{r} = K_r \cdot K_{\varphi} \cdot \dfrac{1}{r_0} \)

in cui

\( 1 / r_0 = ε_{yd} / ( 0.45 \cdot d ) \rightarrow \) curvatura di base

\( K_r = (n_u-n) / (n_u – n_{bal} ) \leq 1 \rightarrow \) fattore di correzione funzione del carico assiale

\( n_u = 1 + \omega \rightarrow \) resistenza a compressione adimensionale della sezione

\( n = N_{Ed} / (A_c f_{cd} ) \rightarrow \) sforzo assiale adimensionale

\( n_{bal} \rightarrow \) value of \( n \)corrispondente al massimo valore del momento resistente

\( K_{\varphi} = 1 + \beta \varphi_{ef} \geq 1 \rightarrow \) fattore di correzione per effetti viscosi

\( \varphi_{ef} \rightarrow \) coefficiente efficace di viscosità (vedere paragrafo precedente)

\( \beta = 0.35 + f_{ck} / 200 -\lambda / 150 \rightarrow \) fattore di snellezza

\( \lambda \rightarrow \) snellezza della colonna

Per \( n < n_{bal} \) la curvatura è costante e il suo valore cresce al crescere della classe del calcestruzzo e del livello di viscosità.Quando \( n > n_{bal} \) la curvatura inizia a decrescere fino ad annullarsi quando \( n = n_u \).

Figura 7: distribuzione della curvatura nella sezione critica della colonna in funzione della forza assiale agente

Diagrammando l’andamento del momento del secondo ordine in funzione dello sforzo assiale corrispondente al metodo della “curvaura nominale” e confrontandolo con quello relativo al metodo della “rigidezza nominale” la differenza appare evidente (si veda la Figura 8): quest’ultimo tende infatti a crescere all’infinito quando \( N_{Ed} \rightarrow N_{cr} \) mentre il primo decresce quando \( N_{Ed} > N_{bal} \). Il problema principale dell’approccio in curvatura è che esso assume arbitrariamente che le varie configurazioni di collasso della colonna siano sempre in equilibrio stabile ma, al contrario, se lo sforzo assiale supera il valore critico esse saranno instabili e, di conseguenza, l’equilibrio non potrà essere raggiunto.

Figura 8: momento del secondo ordine nella colonna modello.
a) metodo della “rigidezza nominale” – b) metodo della “curvatura nominale”

 

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