Analisi Pushover: parte IV

 

Principio di consistenza delle verifiche

Come è stato descritto precedentemente, il risultato finale di un’analisi pushover è quello di poter tracciare una curva di capacità per ogni distribuzione di forza, per ogni direzione e verso e per ogni punto di controllo significativo. Si noti che solo in presenza di diaframmi infinitamente rigidi o sufficientemente rigidi, esiste una definizione univoca di punti di controllo. Nel caso di diaframmi molto flessibili, per esempio solai in legno, con assenza di cappa, orizzontamenti metallici realizzati mediante grigliati o lamiere, viene meno tale definizione univoca ed impone una scelta di più punti di controllo. Le curve di capacità, in altre parole monitorano la forza complessiva al piede in relazione dello spostamento di tale punto di controllo, monitorando nel contempo, per ogni livello di spostamento, il danneggiamento degli elementi strutturali. Tale danneggiamento, per esempio, relativamente a meccanismi duttili è rappresentato da rotazioni o deformazioni plastiche limite (definiti precedentmente come limiti di capacità), in meccanismi fragili è il livello di forza del singolo elemento rapportato al suo valore limite.

In altre parole all’interno della curva di capacità dovranno essere riportati gli eventi che si intende verificare. Nel presente documento si è fatto già cenno alla “consistenza” delle verifiche. Adesso, occorre definire questo concetto di consistenza.

Per ogni punto della curva di capacità tutte le grandezze che si intende verificare sono note, in altre parole per ogni punto è possibile monitorare molteplici eventi.

Si riportano quelli che si ritiene essere i più importanti:

• deformazioni o rotazione plastica di ogni meccanismo duttile;
• forza di ogni meccanismo fragile;
• spostamenti di interpiano;
• spostamenti complessivi;
• controllo di forza e deformazione su ogni elemento non strutturale come impianti, tamponature, macchinari od altro;
• deformazioni in corrispondenza di eventuali giunti tecnici o sismici;

Ad ogni passo dell’analisi queste grandezze saranno note, quindi sarà possibile confrontarle con le grandezze limite associate a diversi stati limite, per esempio:

• stati limite di danno associati alle deformazioni di pano;
• stati limite di danno associati a deformazioni o rotazioni plastiche delle membrature;
• stati limite di salvaguardia della vita o collasso di meccanismi fragili;
• stati limite SLV ed SLC di meccanismi duttili (deformazioni o rotazioni plastiche delle membrature.

Maggiore è il numero di grandezze controllate maggiori sono le informazioni che si possono ottenere da un’analisi Pushover, e questo  quello che è stato definito come concetto di “Consistenza delle verifiche”. Nel sinottico riportato in Figura 24 sono presenti questi concetti di controllo per ogni passo di analisi, ovvero, per ogni punto della curva di capacità.

Figura 24: sinottico delle informazioni ottenute per ogni passo d’analisi

 

Definendo come D la “domanda” di ogni passo in termini di: deformazione, rotazione o forza e come C la “capacità” associata ad un determinato stato limite, per ogni passo dell’analisi è possibile tenere traccia del rapporto D/C. Questo rapporto può essere considerato lo stato di salute della struttura (comprendente anche gli elementi non strutturali). La verifica vera e propria necessita tuttavia del calcolo della reale domanda sismica. Se in un’analisi statica o dinamica lineare, la domanda è rappresentata da un’azione corrispondente associata o associabile ad uno spettro di risposta elastico, noto in termini di accelerazione, in un’analisi Pushover qual è la domanda corrispondente ad una azione sismica? In un’analisi pushover occorre determinare la domanda di spostamento. Questa determinazione passa anch’essa dalla curva di capacità. Il metodo con il quale si può determinar questa domanda prende il nome dal numero di step da cui è composto ed è noto come: metodo N2.

 

Determinazione della domanda di spostamento, metodo N2

Comunemente si parla di domanda di spostamento, in realtà non vi è una sola domanda. Innanzi tutto vi sono molteplici stati limite da considerare, in generale: stato limite di danno (SLD), stato limite di salvaguardia della vita (SLV) e stato limite di collasso (SLC). Per ognuno di questi stati limite sarà necessario calcolare una domanda di spostamento. Per calcolare la domanda di spostamento, occorre però, la curva di capacità, quindi in totale occorrerà calcolare la domanda di spostamento per un numero di volte pari al prodotto tra il numero degli stati limite considerati ed il numero di curve di capacità tracciate (una per distribuzione, una per verso, una per punto di controllo scelto). Per fortuna, la procedura da seguire per il calcolo della domanda di spostamento è univoca ed è di facile automazione, questa procedura prende il nome di Metodo N2.  E’ costituita da due step fondamentali.

• Riduzione della curva di capacità calcolata sulla struttura in una curva elasto-plastica (di tipo elastico-perfettamente-plastico, EPP) corrispondente ad un oscillatore semplice ed energeticamente equivalente alla curva di capacità.
• Determinazione della domanda di spostamento mediante spettro di risposta elastico.

Si procede in questo modo. Si parte dalla curva di capacità, espressa come sappiamo mediante un grafico Forza-spostamento, dove la forza è il taglio al piede e lo spostamento è quello del punto di controllo scelto. Si dividono ascisse ed ordinate per il fattore di partecipazione corrispondente al modo principale per la direzione di spinta, Gi. La curva scalata, viene semplificata mediante una curva EPP energeticamente equivalente. Sfruttando la rigidezza del tratto elastico della EPP e la massa attivata dal modo considerato, si calcola il periodo di riferimento dell’oscillatore equivalente. Noto il periodo si calcola, mediante lo spettro di risposta elastico, lo spostamento associato e lo si corregge in funzione del periodo. Lo spostamento così ottenuto lo si moltiplica nuovamente per Gi. Il frutto di questo prodotto è lo spostamento domandato. A questo punto si osserva la curva di capacità fino al raggiungimenti di questo spostamento e si applica il “principio di consistenza” delle verifiche in corrispondenza di questo punto. Il più gravoso rapporto D/C calcolato su tutte le grandezze descritte nel paragrafo 1.7 rappresenta quello che è noto come indice di vulnerabilità sismica.

Ma torniamo al metodo N2. Calcolato Gi, od ottenuto direttamente dall’interfaccia di ETABS o SAP2000, si abbatte il taglio al piede e lo spostamento del punto di controllo per tale fattore, scalando la curva di capacità in ascissa ed ordinata. Si veda la curva scalata F*, d* di Figura 25, questa curva, viene semplificata tracciando una bilatera di tipo EPP che rispetti le seguenti regole.

1. Si consideri solo la porzione di curva di capacità compresa fino al raggiungimento di una riduzione del 15% della massima forza raggiunta dalla stessa.
2. La curva EPP dell’oscillatore semplice sia energeticamente equivalente alla curva di capacità, in un dominio F-D l’equivalenza energetica è rappresentata uguagliando l’area sottesa dalle due curve.
3. La curva EPP intersechi la curva di capacità scalata al 60% della massima forza raggiunta, indicata con F*bu.

Imponendo tali regole si determina F*y ed d*y, da cui è direttamente calcolabile la rigidezza del primo ramo della bilatera. Da questa rigidezza e conoscendo m*, la massa attivata nel modo significativo della direzione di spinta, si ricava poi il periodo fondamentale dell’oscillatore equivalente, T* in corrispondenza del quale, mediante il tracciamento degli spettri di risposta elastici (normalmente SLD, SLC, SLV) si ricavano le domande di spostamento.

Figura 25: oscillatore ad unico grado di libertà elasto-plastico equivalente

 

Di seguito l’intera procedura integrata nell’interfaccia di ETABS2016.

In Figura 26 si riporta la curva di capacità ottenuta sulla base di una analisi Pushover. Tale grafico riporta il taglio al piede complessivo rispetto allo spostamento del punto di controllo. Sulla stessa finestra si può chiedere di mostrare il risultato dell’applicazione del metodo N2, si veda la Figura 27.

Figura 26: curva di capacità

Figura 27: applicazione del metodo N2 sulla stessa curva di capacità

Nell’interfaccia è visibile il fattore G1, con cui viene dapprima scalata la curva in ascissa ed in ordinata, che in tale esempio risulta di circa 1.39. La curva viene mostrata nello spazio Sa(T),Sd(T). in altre parole si mostra in termini spettrali di accelerazione in funzione dello spettro di spostamento. Sono visibili:

1. La domanda espressa come spettro di risposta elastico in termini di accelerazione.
2. L’oscillatore elementare EPP equivalente, traccia rossa.
3. La retta corrispondente al periodo T* ed al periodo Tc.
4. La domanda di spostamento, corretta in accordo alle NTC08, sia come valore numerico sia come punto indicato sull’oscillatore elementare equivalente.
5. Il taglio corrispondente.

Nota la domanda di spostamento sarà sufficiente seguire la curva di capacità fino a quel punto, ogni step dell’analisi conterrà tutte le verifiche come espresso nel principio di “Consistenza delle verifiche”.

 

Limiti concettuali dell’analisi pushover

Come è stato mostrato in precedenza l’analisi pushover viene condotta utilizzando delle distribuzioni di forza note, o per meglio dire fissate. Queste distribuzioni vengono scelte in modo aprioristico ed hanno lo scopo di ripartire le forze sulla struttura ipotizzando la risposta dinamica della stessa. Questa procedura ha come diretta conseguenza il limite applicativo del metodo stesso. Dovendo stabilire queste distribuzioni di forza, in sostanza si scommette sulla risposta dinamica della struttura, ma come è noto essa varia al progredire del danno. Queste distribuzioni sono invece comunemente dedotte sulla base della risposta dinamica della struttura priva di danno, per esempio la distribuzione pseudo-triangolare inversa, oppure, la distribuzione su base modale, od ancora la distribuzione che segue i tagli di piano come calcolati dall’analisi spettrale. Il principale limite di applicabilità del metodo, coincide con il limite di queste distribuzioni ed è da imputare al concetto di regolarità strutturale. Esistono diverse definizioni di regolarità strutturali, le due note e direttamente definite dalla normativa sono: regolarità in pianta, regolarità in altezza. Ma certamente esiste una regolarità strutturale ancora più stringente, chiameremo questa regolarità come “regolarità delle resistenze”. Come vedremo di seguito la validità dei risultati di un’analisi pushover è influenzata da questo concetto di regolarità.

Si faccia riferimento alla Figura 28 ed alla Figura 29. Nel caso di coincidenza tra baricentro delle rigidezze (CR) e baricentro di massa (CM) come noto nella struttura l’azione sismica produce una mera traslazione. Nel caso di non coincidenza subentrano effetti torsionali producendo rotazioni di piano. In quest’ultimo caso si può definire lato rigido quello in cui è rivolto il CR e lato flessibile quello in cui è rivolto il CM. Durante l’atto di moto indotto dall’azione sismica, si avranno in tempi diversi, rotazioni in cui si vede sbandare il lato flessibile ed altri in cui è marcata la deformazione del lato rigido. Si immagini di poter inviluppare le deformazioni di piano che avvengono ad istanti diversi, questi inviluppi darebbero luogo a curve rappresentate nella Figura 30.

Figura 28: struttura priva di eccentricità

Figura 29: struttura con eccentricità tra baricentro delle rigidezze e centro di massa

Le curve di inviluppo degli spostamenti sono rappresentate nella Figura 30, esse assumono forme più rettilinee nel caso di strutture con bassa deformabilità torsionale, le c.d. strutture torsio-rigide, mentre hanno curve più accentuate nel caso di strutture deformabili torsionalmente.

In termini di regolarità strutturale nei confronti della resistenza si immagini di effettuare delle verifiche di resistenza sugli elementi strutturali che fanno parte del sistema sismo-resistente. Ai fini di queste verifiche si consiglia di utilizzare un approccio di dinamica lineare, ovvero, di risposta spettrale. In tal caso ed a tale scopo si può utilizzare anche uno spettro di risposta elastico. Lanciato il processo di verifica si controlla lo stato delle medesime espresso come rapporto tra domanda e capacità, indicato come rapporto D/C.

In riferimento alla regolarità strutturale nei confronti della resistenza si possono profilare tre casi:

 

• Caso 1: rapporti D/C omogenei;
• Caso 2: rapporti D/C sbilanciati verso il lato flessibile;
• Caso 3: rapporti D/C sbilanciati verso il lato rigido;

 

I tre casi sono riportati nella Figura 31 e successive. Si procede alla descrizione dei tre casi.

 

Caso 1: rapporti D/C omogenei

Nel caso riportato in modo schematico si ha il lato flessibile a sinistra ed il lato rigido sulla destra. Si procede immaginando la curva di inviluppo degli spostamenti ottenuta come precedentemente descritto su struttura non danneggiata (curva in blu). Si procede spingendo la struttura con forme derivanti da queste distribuzioni. Si procede incrementando come noto gli spostamenti per step successivi. A bassi livelli di deformazione, corrisponderanno bassi livelli di danno. Avendo una situazione omogenea di resistenza, cominceranno a danneggiarsi gli elementi spostati su lato flessibile. Si indicano in blu gli elementi sismo-resistenti danneggiati e quindi elasticizzati. A seguito del loro primo danneggiamento, si avrà una ulteriore riduzione della oro rigidezza ed il baricentro delle rigidezze si sposta leggermente verso il lato rigido. Si continua a spingere, il danneggiamento si propagherà agli altri elementi sismoresistenti, ma avendo una distribuzione uniforme di resistenza si arriverà a rottura dopo aver raggiunto il danneggiamento di tutta la struttura. I primi elementi che raggiungeranno i limiti di duttilità saranno quelli rivolti sul lato flessibile. Alla fine del procedimento si immaginerà di avere una curva che inviluppa gli spostamenti di paino al collasso (in rosso) che sarà molto simile rispetto a quella che si aveva in partenza. In questa condizione si è spinto la struttura con forme derivanti dalla condizione non danneggiata che poco si distanziano dalle forme di risposta che la struttura assumerebbe vicino al collasso. In queste condizioni l’analisi pushover restituisce risultati attendibili.   

 

Caso 2: rapporti D/C sbilanciati verso il lato flessibile

Rispetto al caso precedente si immagini un deficit di resistenza sbilanciato verso il lato flessibile. Si comincia a spingere con una distribuzione di forze simile al caso precedente. Si procede al danneggiamento degli elementi rivolti sul lato flessibile ottenendo una traslazione del CR più marcata verso il lato rigido, incrementando le eccentricità tra CM e CR. Si procede con l’incremento della spinta sulla struttura, ma rispetto al caso precedente, si immagina di arrivare al limite di duttilità sui primi elementi, rivolti verso il lato flessibile, prima di raggiungere un completo danneggiamento della stessa. In questo caso la curva che si otterrebbe nella condizione danneggiata in prossimità del collasso registrerebbe un incremento degli spostamenti sul lato flessibile e rispetto al caso precedente si discosterebbe di più in forma rispetto alla curva ottenuta nella condizione non danneggiata. In queste condizioni i risultati ottenuti dall’analisi pushover differirebbero da quelli che si otterrebbero con un’analisi dinamica non lineare ma potrebbero ancora essere considerati come attendibili.

 

Caso 3: rapporti D/C sbilanciati verso il lato rigido

In questo caso il deficit di resistenza è sbilanciato sul lato rigido. In tal caso si ha subito un danneggiamento degli elementi più rigidi ma meno resistenti. Perdendo il contributo di rigidezza di questi elementi, il CR si sposta notevolmente rispetto alla condizione di partenza, arrivando in talune condizioni ad invertirsi di posizione con il CM, nel senso che il lato che inizialmente era considerabile come quello rigido, per effetto della perdita degli elementi rigidi ma “poveri” di resistenza, diventa il lato flessibile con un incremento improvviso della domanda di spostamento. In questo caso i risultati ottenuti dall’analisi pushover sarebbero completamente diversi da quelli ottenibili con un’analisi dinamica non lineare. In questo caso l’analisi pushover non risulta attendibile.

 

Per l’individuazione dei casi è sufficiente procedere con un’analisi spettrale ed un approccio “tradizionale”. In queste condizioni, anche utilizzando uno spettro di risposta elastico associato allo SLV si eseguono le verifiche e si confrontano i rapporti di utilizzo, ovvero i rapporti D/C. Si guardano le distribuzioni di questi rapporti, molti elementi non verranno verificati, ma occorre solo tenere traccia di come sono distribuiti questi rapporti per scegliere in quale dei tre casi si ricade.

Figura 30: curve di inviluppo delle deformazioni di piano

Figura 31: caso 1 – rapporti D/C omogenei

Figura 32: caso 2 – rapporti D/C sbilanciati sul lato flessibile

Figura 33: caso 3 – rapporti D/C sbilanciati sul lato rigido

 

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